Equação do Primeiro Grau

A palavra “Equação” está originalmente relacionada à palavra igualdade. Portanto, falar em equação é querer tornar as coisas iguais.

Equação do 1º grau (primeiro grau) é nada mais do que uma igualdade entre as expressões, que as transformam em uma identidade numérica, para um ou para mais valores atribuídos as suas variáveis. O modelo geral para uma equação de 1º grau com uma incógnita, portanto, será sempre ax + b = 0. Os itens a e b são chamados de coeficientes da equação, sendo b conhecido como termo independente também.

Para calcular uma equação de 1º grau, nesses termos, basta isolar a sua incógnita. O objetivo será sempre isolar a variável do lado esquerdo, de modo que no lado direito estará o seu valor. - O lado esquerdo de uma igualdade é chamado de 1º membro da equação e o lado direito é chamado de 2º membro. - A solução da equação (o valor que acharmos para a incógnita) é chamada de raiz. Ela deve ser um número que ao substituir a incógnita, comprove a igualdade. Dizemos que assim a sentença será verdadeira.

Exemplos:

1) Dada a equação 10 – (8x – 2) = 5x + 2(- 4x + 1), veja na prática como resolver essa equação do primeiro grau com parentes e o valor de x: 10 – 8x + 2 = 5x – 8x + 2 – 8x – 5x + 8x = + 2 – 10 – 2 – 13x + 8x = – 10 – 5x = – 10. (-1) 5x = 10 x = 10/5 x = 2 Agora vamos fazer a verificação: 10 – (8x – 2) = 5x + 2(- 4x + 1) 10 – (8. 2 – 2) = 5. 2 + 2(- 4. 2 + 1) 10 – (16 – 2) = 10 + 2(-8 + 1) 10 – (14) = 10 + 2(-7) 10 – 14 = 10 – 14 - 4 = - 4 (a igualdade é verdadeira)

2) Resolva as equações abaixo: a) x - 3 = 9 x = 9 + 3 x = 12 b) 4x - 9 = 1 - 2x 4x + 2x = 1 + 9 6x = 10 x = 10/6 c) x + 5 = 20 - 4x x + 4x = 20 - 5 5x = 15 x = 15/5 x = 3 d) 9x - 4x + 10 = 7x - 30 9x - 4x - 7x = - 10 - 30 - 2x = - 40 (-1) multiplica-se todos os termos por -1 2x = 40 x = 40/2 x = 20

3) Ana nasceu 8 anos depois de sua irmã Natália. Em determinado momento da vida, Natália possuía o triplo da idade de Ana. Calcule a idade das duas nesse momento. Para resolver esse tipo de problema, utiliza-se uma incógnita para estabelecer a relação de igualdade. Assim, denominemos a idade de Ana como o elemento x. Como Natália tem oito anos a mais que Ana, sua idade será igual a x+8. Por conseguinte, a idade de Ana vezes 3 será igual à idade de Natália: 3x = x + 8 Estabelecida essas relações, ao passar o x para o outro lado da igualdade, tem-se: 3x - x = 8 2x = 8 x = 8/2 x = 4 Portanto, como x é a idade de Ana, naquele momento ela terá 4 anos. Enquanto isso, Natália terá 12 anos, o triplo da idade de Ana (8 anos a mais).

Exercícios 1) Resolva em R as equações a seguir: a) 3 + x = 0 b) 23x + 2 = 2 c) 12 – 7 + 4x = 25 d) 5x – 3x = 30 e) 4x + 10 = 45 – 3x

2) (UFGO) Certa pessoa entra na igreja e diz a um santo: se você dobrar a quantia de dinheiro que eu tenho, dou-lhe R$ 20 000,00. Dito isto, o santo realizou o milagre, e a pessoa, o prometido. Muito animada, ela repetiu a proposta, e o santo, o milagre. Feito isto, esta pessoa saiu da igreja sem qualquer dinheiro. Pergunta-se: quanto em dinheiro a pessoa possuía ao entrar na igreja?

3) (ENEM) Desde 2005, o Banco Central não fabrica mais a nota de R$ 1,00 e, desde então, só produz dinheiro nesse valor em moedas. Apesar de ser mais caro produzir uma moeda, a durabilidade do metal é 30 vezes maior que a do papel. Fabricar uma moeda de R$ 1,00 custa R$ 0,26, enquanto uma nota custa R$ 0,17, entretanto, a cédula dura de oito a onze meses. Disponível em: http://noticias.r7.com. Acesso em: 26 abr. 2010. Com R$ 1 000,00 destinados a fabricar moedas, o Banco Central conseguiria fabricar, aproximadamente, quantas cédulas a mais? a)1667. b)2036. c)3846. d)4300. e)5882.

Resolução 1- a) -3 3 + x = 0 ⇒ x = -3 b) 0 23x + 2 = 2 ⇒ 23x = 2 – 2 ⇒ 23x = 0 ⇒ x = 0/23 ⇒ x = 0 c) 5 12 – 7 + 4x = 25 ⇒ 5 + 4x = 25 ⇒ 4x = 25 – 5 ⇒ 4x = 20 ⇒ x = 20/4 ⇒ x = 5 d) 15 5x – 3x = 30 ⇒ 2x = 30 ⇒ x = 30/2 ⇒ x = 15 e) 5 4x + 10 = 45 – 3x ⇒ 4x + 3x = 45 – 10 ⇒ 7x = 35 ⇒ x = 35/7 ⇒ x = 5

2) A quantia de dinheiro que a pessoa entrou na igreja é x, não sabemos. Então, ela prometeu doar ao santo R$ 20.000,00, caso houvesse o milagre, dessa forma, temos: x – 20000 = 0 O santo realizou o milagre e dobrou a quantia de dinheiro que ela possuía e assim: 2(x – 20000) = 0 Muito feliz que o santo realizou o milagre, ela então repetiu novamente a promessa, e o santo o milagre, logo: 2(2x – 20000) – 20000 = 0 Desenvolvendo a equação, temos: 2(2x – 20000) – 20000 = 0 ⇒ 4x – 40000 – 20000 = 0 ⇒ 4x – 60000 = 0 ⇒ 4x = 60000 ⇒ x = 60000/4 ⇒ x = 15000 Portanto, a pessoa entrou com R$ 15.000,00 na igreja.

3) De acordo com o texto, gasta-se R$ 0, 26 para produzir uma moeda de um real e apenas R$ 0,17 para produzir uma nota de mesmo valor. Para saber quantas moedas ou cédulas podem ser produzidas com determinado valor, basta fazer o quociente entre o valor empregado e o custo da moeda ou da cédula. Claramente podemos ver que, com um mesmo investimento, podem ser produzidas mais cédulas do que moedas. Para determinar quantas cédulas seriam produzidas a mais (x), vamos determinar a diferença entre o quociente das cédulas e das moedas. De forma simplificada, temos a seguinte equação: x = valor empregado – valor empregado custo por cédula custo por moeda O enunciado informa que o valor empregado é de R$ 1 000,00. Já sabemos que o custo por moeda é de R$ 0,26 e por cédula é de R$ 0,17. Sendo assim, temos: x = 1 000 – 1 000 0,17 0,26 x ≈ 5 882,34 – 3 846,14 x ≈ 2 036,2 Portanto, com R$ 1 000,00, podem ser produzidas cerca de 2 036 cédulas a mais do que moedas de um real. A alternativa que indica a resposta correta é a letra b.