Semelhança de Triângulos

A semelhança de triângulos consiste, de modo geral, na proporção entre dois ou mais triângulos, ou seja, são proporcionais se, e somente se, todos os seus lados e ângulos internos forem proporcionais ao outro triângulo. Convenhamos que verificar todos esses elementos um a um gera um pouco de trabalho. A fim de facilitar o processo, vamos estudar os casos de semelhança nos quais é necessário verificar somente três desses elementos.

TRIÂNGULOS SEMELHANTES:

Dados dois triângulos ABC e A’B’C’, vamos dizer que eles são semelhantes se, e somente se, os ângulos correspondentes são congruentes na mesma ordem, ou seja, se os ângulos são iguais e se os lados correspondentes são ordenadamente proporcionais. Veja:

Ângulos correspondentes congruentes:

A = A'

B = A'

C = A'

Lados correspondentes proporcionais:

A'B' = B'C' = A'C' =k AB BC AC

O número k nas razões entre os lados é chamado de constante de proporcionalidade, e as razões são chamadas de razões de proporcionalidade.

EXEMPLO:

Observe que a correspondência entre os ângulos dos triângulos azul e vermelho é dada por:

A = 65° = B’

B = 45° = A’

C = 70° = C’

Veja também que o lado A’B’ está para o lado AB, que o lado B’C’ está para o lado AC e que o lado A’C’ está para o lado BC, ou seja:

Note que, nessa ordem, podemos encontrar uma proporção entre os lados em que a constante de proporcionalidade é igual a 1/3, ou seja, para construir o triângulo A’B’C’, basta multiplicar cada lado do triângulo ABC por 1/3. Assim, temos que os triângulos são semelhantes na seguinte ordem:

CASOS DE SEMELHANÇA:

Para identificar se dois triângulos são semelhantes, basta verificar alguns elementos.

1º Caso: Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos de um são congruentes a dois do outro. Critério AA (Ângulo, Ângulo).

EXEMPLO:

Observe que os lados correspondentes desses dois triângulos são proporcionais e que os ângulos que sobraram, destacados na cor cinza, são congruentes.

2º Caso: Dois triângulos são semelhantes se os três lados de um são proporcionais aos três lados do outro. Critério LLL (Lado, Lado, Lado).

EXEMPLO:

O exemplo mostra dois triângulos semelhantes, pois eles possuem as medidas de seus três lados proporcionais. Em cinza, estão as medidas dos ângulos desses triângulos.

3º Caso: Dois triângulos são semelhantes se possuem um ângulo congruente compreendido entre lados proporcionais. Critério LAL (Lado, Ângulo, Lado).

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Os triângulos que possuem um ângulo igual a 90º são chamados de triângulos retângulos. O lado oposto ao ângulo de 90º é chamado hipotenusa e os outros dois lados são chamados de catetos.

Observando as medidas dos ângulos desses três triângulos, percebemos que eles são semelhantes, ou seja:

ABC ~ ABH ~AHC ~

Usando as proporções entre os lados, determinamos as seguintes relações:

CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

Triângulos semelhantes não são triângulos iguais. Os triângulos são considerados congruentes (iguais) quando coincidem ao serem sobrepostos.

CASOS DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

Dois triângulos são congruentes quando for verificado um dos seguintes casos:

1º caso: Os três lados são respectivamente congruentes.

2º caso: Dois lados congruentes (mesma medida) e o ângulo formado por eles também congruente.

3º caso: dois ângulos congruentes e o lado compreendido entre eles congruente.

EXERCÍCIOS:

1) Dados os triângulos abaixo, responda:

a) Eles são semelhantes? Justifique a resposta. b) Qual é o ângulo que não aparece nas figuras?

2) (PM ES – Funcab). A figura abaixo (meramente ilustrativa e fora de escala) representa um triângulo ABC retângulo em A, dividido em dois triângulos, ACD e ABD, ambos retângulos em D.

O valor, em cm, de AD = h, é:

A) 6 cm

B) 7,2 cm

C) 8 cm

D) 8,4 cm

E) 9 cm

3) (PM Pará – Fadesp). Uma praça tem a forma de um triângulo ABC, retângulo em A, cuja hipotenusa a mede 250 metros e o cateto c mede 200 metros. Para garantir a execução de um serviço, houve necessidade de se interditar uma parte da praça com uma corda MN perpendicular à hipotenusa, distando 150 metros do vértice B, com M na hipotenusa e N no cateto c. O comprimento dessa corda, em metros, é

(A) 112,5.

(B) 125,5.

(C) 150,5.

(D) 175,5.

RESOLUÇÕES:

1- a) São semelhantes porque têm dois ângulos iguais

b) A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º. Logo:

72º + 35º = 107º

180º - 107º = 73º

Resposta: O ângulo é 73º

2- Observe que os triângulos CDA e ADB são semelhantes. Usando semelhança de triângulos:

Resposta: A

3- Com as informações do enunciado, o formato da praça pode ser representado pela figura abaixo:

Nosso primeiro passo é acharmos o valor de AC através do teorema de Pitágoras:

BC² = AB² + AC²

250² = 200² + AC²

62500 = 40000 + AC²

AC² = 62500 – 40000

AC² = 22500

AC = 150

Pela semelhança dos triângulos ABC e MBN:

Resposta: A