Triângulo Retângulo

- Hipotenusa: lado oposto ao ângulo reto, sendo a maior lateral do triângulo retângulo. É representado na figura pela letra “h”. 

- Catetos: lados que compõem o próprio ângulo reto. Caso o lado esteja perto do ângulo reto, é conhecido como adjacente; se tiver em sentido contrário, é conhecido como oposto. São representados na figura pelas letras “a” e “b”.

➨ Fórmula seno

➨ Fórmula cosseno

➨ Fórmula tangente

➨ Tabela de relações trigonométricas

Exemplo: Determine o valor de x e y no triângulo a seguir.

O lado que mede x é o cateto oposto ao ângulo de 30°, o lado que mede y é o cateto adjacente ao ângulo de 30° assim devemos buscar uma razão trigonométrica que relacione o que procuramos com que é dado (hipotenusa). Logo:

sen 30º = cateto oposto

hipotenusa

cos 30º = cateto adjacente

hipotenusa

Determinando o valor de x:

sen 30º = cateto oposto

hipotenusa

sen 30º = x

2

Olhando a tabela, temos que:

sen 30º = 1

2

Substituindo na equação, teremos:

1 = x

2 2

x = 1

De modo análogo, consideramos assim: 

cos 30º = √3

2

cos 30º = cateto adjacente

hipotenusa

cos 30º = y

2

√3 = y

2 2

y = √3

Teorema de Pitágoras: "A soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa."

➨ Fórmula: a² = b² + c²

a: hipotenusa

b: cateto

c: cateto

Exemplos: Calcule a medida da hipotenusa para o triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em B, sendo que os catetos AB e BC, têm medidas de 6 cm e 8 cm, respectivamente.

Cálculo do quadrado da hipotenusa AC e do cateto BC:

• (AC)² = 10² = 100 cm

• (BC)² = 5² = 25 cm

Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

• (AC)² = (BC)² + (AB)²

• 100 = 25 + x², com x > 0 ⇔ x² = 100 – 25 ⇔ x² = 75 cm ⇔ x = √75 ⇔ x = 5√3 cm

EXERCÍCIOS

Questão 1:

(Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de:

a) 6√3 m.

b) 12 m.

c) 13,6 m.

d) 9√3 m.

e) 18 m.

Questão 2:

A figura abaixo representa um avião que decolou sob um ângulo constante de 40º e percorreu em linha reta 8000 m. Nesta situação, qual a altura que se encontrava o avião ao percorrer essa distância?

Considere: sen 40º = 0,64 / cos 40º = 0,77 / tg 40º = 0,84

Questão 3:

Um garoto observa uma coruja no alto de um poste de 8 metros de altura. A sombra projetada desse poste no chão possui comprimento de 6 metros naquele horário. Sabendo que o poste forma um ângulo de 90° com o solo, qual é a distância do garoto até a coruja?

a) 6 metros

b) 8 metros

c) 10 metros

d) 12 metros

e) 14 metros

Questão 4:

A distância entre os muros laterais de um lote retangular é exatamente 12 metros. Sabendo que uma diagonal desse lote mede 20 metros, qual é a medida do portão até o muro do fundo?

a) 8 metros

b) 10 metros

c) 12 metros

d) 14 metros

e) 16 metros

RESOLUÇÕES

Questão 1: Podemos representar no triângulo ilustrado a seguir a situação descrita no problema. A hipotenusa representa a rampa percorrida pela pessoa citada:

Na figura, a altura que a pessoa foi elevada está representada pelo lado vermelho (cateto oposto ao ângulo de 30°). Vamos chamar esse lado do triângulo de x para determinar seu valor. Para tanto, utilizaremos a fórmula do seno:

sen 30º = cateto oposto

hipotenusa

1 = x

2 36

2x = 36

x = 36       2 x = 18 m

Portanto, ao subir a rampa, a pessoa eleva-se verticalmente 18 m. Logo, a alternativa correta é a letra e.

Questão 2:

Sen 40° = cateto oposto

hipotenusa

Sen 40° = h

8 000

0,64 = h

8 000

h = 8 000 x 0,64 = 5 120

Resposta: 5 120 de altura

Questão 3:

A distância do garoto até a coruja é exatamente a hipotenusa do triângulo cujos catetos são o próprio poste e sua sombra. Desse modo, sendo essa distância igual a x, pelo Teorema de Pitágoras, teremos:

x² = 8² + 6²

x² = 64 + 36

x² = 100

x = √100

x = 10 metros

Gabarito: Letra C.

Questão 4:

A diagonal de um retângulo sempre determina dois triângulos retângulos. Portanto, os muros frontal e lateral desse lote podem ser considerados catetos, e a diagonal é a hipotenusa. Sabendo que a medida do muro lateral de um lote é justamente a distância do portão até o muro do fundo, utilizaremos o Teorema de Pitágoras para calculá-la.

Seja o comprimento do muro lateral igual a x, pelo teorema de Pitágoras,

20² = 12² + x²

400 = 144 + x²

400 – 144 = x²

x² = 256

x = √256

x = 16 metros

Gabarito: Letra E.